パスカルの蝸牛線を用いる角の三等分線
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一点ｃを中心として半径ａの円を描く。この円周上に一点ｏを固定して、ｏを通る任意の直線とこの円周が再び交わる点をＡとする。このとき直線ＯＡ上に、Ａからａに等しい距離に点Ｂ、Ｂ′をとれば、Ｂ、Ｂ′の描く軌跡がパスカルの蝸牛線である。

これを用いて与えられた角ＸＯＹを三等分するには、頂点Ｏを図のＯに、ＯＸを図のＯＣに重ねる。このときＯＹの位置が定まるが、いまＣを通ってＯＹに平行線を引き、これがパスカルの蝸牛線と交わる点をＢとすれば、ＢとＯを結ぶ直線が角ＸＯＹの三等分線の一つである。

（証明）

 OBと円Cの交点をAとすると，

 AB=AC=a

 ∠ABC=∠ACB

 ∴∠OAC=2∠ABC

 一方，CO=CAより ∠OAC=∠AOC

 ∠AOC=2∠ABC

 作図より　OY//CB　　∴∠YOA=∠ABC

 ∴∠AOC=2∠YOA
 
　                    　　　　　　　　　　 （証明終）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
 
　 
 
 

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