生徒の数学観を変容させるための数学史の活用について
～「カバリエリの原理」の教材を通して～
（要約）
今日「数学離れ」、「数学嫌い」という言葉をよく耳にするが、子どもたちの数学の捉え方はどのようなものであろうか。筆者は子どもたちの数学の捉え方が、公式の暗記、日常生活には役に立たないもの、受験に必要なものなど否定的なイメージとして捉えられているからではないかと考える。それには、子どもたちの数学に対するイメージというものを変えていく必要があり、子どもたちの数学観の変容が「数学離れ」、「数学嫌い」の減少につながるのではないのだろうか。そこで、教材に数学史を用いることにより生徒の数学に対する見方・考え方、捉え方に変化が生じ、そのためには数学観の変容が求められ、歴史的背景や人間とのかかわりともに数学を学ぶ必要性を感じる。また、2003年度から高等学校で導入される「数学基礎」においても、平成１１年高等学校学習指導要領解説の中で「数学の諸概念の発展と人間とのかかわりやそれが用いられてきた背景などを理解させる」とあり、数学史の有用さが伺える。そこで今回は、歴史・文化的状況に立脚して原典解釈の立場に立って、原典を解釈しながら、数学の諸概念の発展、形成過程を追体験することによって生徒たちの数学観の変容を見ていくのが目的である。
本研究では､研究目的として「授業に数学史を取り入れることによって、生徒の数学観の変容を探る。」と定め、その目的を達成させるために「課題１：教材に数学史を取り入れた結果、生徒が与えられた数学を単に受け入れるものではなく、自ら疑問を持つことによって、数学観の変容を探ることができるか。課題２：数学史を用いることにより、数学に対する捉え方がどう変わるか。課題３：数学史を用いることにより、数学を学ぶ価値を見出すことができるのか。」と３つの下位課題を設定した。そして、研究目的に対する研究方法として、授業の前後のアンケートと一日目の授業を終えた後の感想、授業の様子を撮影したビデオにより、生徒の数学観がどのように変化したかを調べた。
授業の教材として「カバリエリの原理」においては原典として、『A source book in mathematics,1200－1800』のカバリエリの原理、「アルキメデスの求積」においては原典として、『アルキメデス方法』の命題2（ギリシア語と日本語）、またその英語訳『THE WORKS OF ARCHIMEDES INCLUDING THE
METHOD，GREAT BOOKS OF THE WESTERN WORLD～１１．』を取り入れた。これらの原典を利用ながら自分なりにオリジナルのテキスト・ワークシートを作成し、その時代背景なども織り込んだ。
授業は、放課後に行い対象生徒に筑波大学附属高等学校第２学年の希望者（積分の基本的な内容は既習済み）、準備としてコンピュータ（Windows）、ビデオプロジェクター、Microsoft Power Point、事前アンケート、事後アンケート、ワークシート（授業後のアンケートを含む）、授業資料カブリ（Cabri GeometryⅡ）を用いた。指導目標に「カバリエリの原理にあたる原典を読み、カバリエリの原理、不可分量について考察する。また、それらを基にして球の体積を求める。付け加えて、アルキメデスの『方法』を読み、アルキメデスの行った球の求積の方法を体験する。」とした。１時間目は原典を読みながらカバリエリの原理、不可分量というものを知ってもらい、不可分量が基になってカバリエリの原理ができたという過程を学びながら、その原理について考察した。２時間目は前の時間で学習したカバリエリの原理やカバリエリのアイディア（不可分量）を用いて、自分自身で球の体積（球の公式）を求めた。最後の３時間目はアルキメデスの球の求積法を紹介し、アルキメデスの考えに沿いながら実際に球の体積を求めた。カバリエリよりも昔にも、球の体積が求められていたことを知るために、原典の日本語訳であるアルキメデスの『方法』を読み、実際にアルキメデスが行った方法を探りながら、球の体積を求めていった。それと同時に普段は文字というとアルファベットなので、普段慣れ親しんでいないギリシア文字を問題に取り入れた。
研究の成果として、課題１に関しては授業後に感想を求めたところ、ほとんどの生徒が不可分量の考えに興味を示したくれた。特に、不可分量の悪い点、あいまいな点について様々な感想を述べていた。例えば、「線は面積を持たないはずなのに持っていると仮定している。」などと不可分量の考えを鵜呑みするのではなく、それぞれが疑いを持って問題に取り掛かっていることが伺える。このことにより、数学は単に与えられるものではなく、自ら疑いを持って取り掛かっている意識が伺える。また、ある生徒は「公式を覚えるのではなく、その公式はどういう意味かを考えるものなんだなと思った」と数学の公式は暗記ではないということを再認識、再確認している。数学は単に与えられて問題を解くといった受身的な捉え方から、自ら発見したり考え出したりする自発的な捉え方へと数学観が変容していることが伺える。
課題２に関しては、ある生徒のアンケート結果である。
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アンケート項目 ・大部分の数学は仕事の上で実際に使われています （事前）反対→（事後）賛成 ・数学は日常生活に必要ありません （事前）賛成→（事後）反対 |
上の事前アンケートの結果を見ると、この生徒は、数学は日常生活には必要のないものとして捉え、仕方なく数学を勉強しているというふうに考えられる。また、数学は学校でしか扱わないもので、将来にはあまり役に立たないものだと捉えている傾向にある。しかし、事後アンケートの結果を見ると変化が見られ、教材に数学史を取り入れることにより、数学に対する考え方、捉え方が変わっているのが伺える。これは、授業で数学史を用いて求積の形成過程を知ることによって、数学が日常生活と密接にかかわっていると捉えるようになったと言える。
課題３に関しては、カバリエリの原理において、「点→線→面→立体とその関係により、体積、面積を考えることができる」などと不可分量の良さを挙げていてカバリエリの考えについて価値あるものとして捉えていることが伺える。また、この考えを受けて「積分の大元になっている」「今の積分のように和がどうこうではなく、１つ１つの線分がどうこうということから積分が始まったということを知った」と求積の形成概念の１つであることを認識することができ、当時の数学を価値あるものとして感じている。
【参考文献】
【１】D．J．Struik(1969)．‘A source book
in mathematics,1200－1800’Cambrige，Mass，：Harvard University Press pp210～214
【２】佐藤徹訳(1990)．「アルキメデス方法」東海大学出版会 pp18～25
【３】Thomas L．Heath(1952)．‘THE WORKS OF ARCHIMEDES INCLUDING THE METHOD’、Wallace Brockway ‘GREAT BOOKS OF THE WESTERN WORLD～１１．EUCLID，ARCHIMEDES，APOLLONIUS OF PERGA，NICOMACHUS～’WILLIAM BENTON pp572～574