接線の幾何的作図に関する授業実践
―アポロニウスの円錐曲線論を用いて―
筑波大学大学院修士課程教育研究科 中嶋 俊朗
１．はじめに
「数学は社会では役に立たない」と考え、数学に対する意欲や目的を失っている生徒が多くいる状況がある。このような状況は数学学習における「数学の基本的な概念や原理・法則の理解」や「数学的思考の育成」という数学教育の目的の一つが達成されていないことの現れではないかと考えられる。「興味・関心」がないから学習意欲が失われ、「概念や原理・法則の理解」や「数学的思考の育成」は達成されにくく、学習内容が定着せず学ぶ意欲につながらないという悪循環がこのような状況を生みだしている。
平成１５年度から実施される「新学習指導要領」には、「数学における概念の形成や原理・法則の認識の過程と人間や文化の関わりを中心として、数学史的な話題を取り上げる」ことで、「数量や図形についての概念等が人間の活動にかかわって発展してきたことを理解し、数学に対する興味・関心を高める。」という記述が見られる。この内容から、「数学史」の役割として、「数学と人間の関わり」を伝え「興味・関心」を高めていくことができるということがあげられる。それが、「数学基礎」の目標にある「数学的な見方や考え方の良さを認識し数学を活用する態度を育てる。」ことを達成可能にするのではないか。礒田正美(2001)は「数学史は、数学を人の営みとして自覚する意味での数学の文化的視野の覚醒契機を提供しえる。」と述べ、「数学史原典解釈により生徒が学ぶ数学の文化的視野の覚醒機会を提供する。」としている。
先行研究には、アポロニウスの「円錐曲線論」を扱ったものとして、後藤（1997）、薬師寺（1998）があり、アポロニウスの「接触」の原典を扱い、カブリを用いた教材開発をしたものとして高橋（2001）があるが、アポロニウスの「円錐曲線論」の原典を扱い、カブリを用いた教材開発をした先行研究は未だ見いだせていない。
そこで、円錐曲線の起源に焦点をあて、円錐曲線（主に放物線）とその接線の幾何的作図について追体験させ、その成果について考察する。
２．研究目的・研究方法
研究目的：数学史を授業に取り入れることにより、生徒が学んできた数学を人の営みとして捉え、数学観の変容をもたらし、数学に対する興味・関心を高めていくことができるかを考察する。
目的達成のため、以下を課題とする。
課題１：数学史を授業に取り入れることにより、数学を発展的に捉え、数学に対する見方を変え、興味・関心を高めていくことができるか。
課題２：作図を考えることにより、円錐曲線やその接線を幾何的に捉え、理解を深めることができるか。
研究方法：原典を用いた歴史的教材を開発し、それを用いた授業実践を行う。授業の事前・事後に数学に関する意識を問うアンケート、各授業ごとに授業に対する感想を問うアンケート及び授業を撮影したビデオをもとに考察する。
３．授業展開
本研究では原典としてアポロニウスの『円錐曲線論』、『ユークリッド原論』を題材として用いた。円錐曲線の作図方法やその接線の作図方法を考え、作図ツール(Cabri Geometry Ⅱ)を用いて作図し、生徒が学んできた円錐曲線と比較する。
１時間目：放物線の定義を理解し、比例中項の作図と放物線上の点の作図を考える
事前課題に、円や放物線の接線について、接線の方程式を求める問題と、接線を作図する問題を課した。放物線のような円錐曲線について考えられていたギリシア数学の「ユークリッド原論」Ⅱ巻命題14を取り上げる。考えの基本に「比例の考え」・「面積のあてはめ」が使われていることを理解するために、比例中項の関係の証明を考え、ユークリッド原論の証明と比較する。
次に、アポロニウスが、円錐曲線についての当時の考え方「斜円錐を異なる切断方法で切断して３種類の曲線を作る」としたことを知る。
円錐曲線論の命題11(放物線の定義)の証明を理解する。
原典解釈については、ギリシア語・ラテン語訳・英語訳・日本語訳をテキストに掲載し、内容の理解は日本語訳を用いた。
２時間目：作図ツールにより放物線の定義を用いて放物線の作図をする
比例中項の関係（RS２＝PS・SQ）が成り立つ点ＲをPS、SQから作図できることを利用して、放物線の定義（KL２＝FH・FL）を満たす点Kの作図方法を考える。カブリジオメトリーⅡを使って作図し、軌跡が放物線になることを確認する。
３時間目：放物線の接線の性質を理解し、接線を作図する。次に双曲線・楕円の定義と接線の性質を理解する。
接線の性質で接線・直径・縦線方向の関係を考え、放物線上の点における接線や放物線外の点からの接線の作図方法を考え、カブリを用いて作図する。事前に求めた接線の方程式と一致することを確認する。
次に、命題12（双曲線の定義）と命題13（楕円の定義）についても放物線と同様にして定義と接線の作図方法を理解する。作図された双曲線の接線が、カブリの機能を利用して双曲線を楕円に変形しても性質が保たれ、楕円の接線になることを体験する。
４．結果・考察
課題１の「数学史を授業に取り入れることにより、数学を発展的に捉え、数学に対する見方を変え、興味・関心を高めていくことができるか。」について、授業後のアンケートより、１日目は、自分たちが学習してきた数学と比べると証明の長さや書き方、英文の記述に戸惑い、違和感を覚えた生徒の反応が多かったが、３日目になると内容を理解してギリシア数学と学習してきた数学の違いやそのすばらしさを認める感想になっている。これまで自分たちが学んできた図形が、紀元前の古代ギリシア時代に立体図形の切断面という形で詳しく厳密に記述され、しかも、方程式を使わない表現方法で書かれていた当時の数学を解釈する活動を通して、生徒はこれまで学んできた数学と比べ違いを感じ、人の営みとしての数学を捉えなおし理解を深め、興味・関心を高めている。
以上から、数学史を授業に取り入れることにより、数学を発展的に捉え、数学に対する見方を変え、興味・関心を高めていくことができたと言える。
課題２の「作図を考えることにより、円錐曲線やその接線を幾何的に捉え、理解を深めることができるか。」について 、授業後のアンケートから、図があることが理解を助け、作図により図形の性質の理解をより深めることができることが分かり、図や作図の大切さを感じている。また、カブリ（作図ツール）を使うことが初めてであったので、初めは機能に対して驚きを感じていたが、最終的にはその有効性を感じるに至っている。事後の感想には、事前のアンケートになかった図形と方程式の関係についての記述が増え、作図することで作図方法が分かるだけでなく、代数中心に学んできた数学に対し、幾何的視点の重要性を再認識し、幾何と代数の結びつきを強め、図形に対する理解が深まっていることが分かる。
５．おわりに
本研究では、原典を教材に取り入れた数学史の学習が、生徒の数学観の変容に貢献でき、数学に対する興味・関心を高めることができるかに焦点を当ててきた。アポロニウスの円錐曲線論を題材に、定義による円錐曲線とその接線の作図について、放物線を中心に作図方法を考え、作図ツールを用いて学習することで、数学を発展的に捉え、数学に対する「興味・関心」を高めることができることが分かった。
授業後のアンケートにおいて、数学に対して理解が深まり興味・関心が高まった様子が生徒に現れたという点で、この実践が果たした役割は大きいと考えられる。新学習指導要領のもとでこのような意識を生徒に持たせる学習は可能であるが、数学史を活用した学習がより数学観の変容に貢献できるといえる。
今回授業を受けた生徒は、作図ツール（カブリ）を使うのが初めてであったこと、操作になれるのに時間が十分にとれなかったことから、驚きの中には作図が図形の理解を助けたことや作図方法が理解できたこと以外に作図ツールの機能に対するものが見られた。感想には、作図方法を理解するためにはコンピュータだけでなく、手による作図方法を考えたことで理解が深まる様子も見られた。
今後、数学史を取り入れた教材開発と、コンピュータの効果的な活用方法についての検証を課題として取り組んでいきたい。
参考文献
【1】R．Catesby Taliaferro（1939）．ON CONIC SECTIONS BY APOLLONIUS OF PERGA． GREAT BOOKS OF THE WESTERN WORLD（1952）．University of Chicago．ENCYCLOPEDIA BRITANNICA，INC．pp.595－804
【2】礒田正美(2001)．異文化体験からみた数学の文化的視野の覚醒に関する一考察―隠れた文化としての数学観の意識化と変容を求めて―．筑波数学教育研究 第20号．pp.39－48
【3】礒田正美(1987)．数学学習における数学史の利用に関する一考察．筑波大学附属駒場中・高等学校研究報告、第26集．pp.159－174
【4】高橋英樹(2001)．高校数学における数学史の導入に関する一考察～アポロニウスの問題の解法を通して～．世界の教育課程改革の動向と歴史文化志向の数学教育―代数・幾何・微積For Allプロジェクトの新展開―．中学校・高等学校数学科教育課程開発に関する研究（８）．筑波大学数学教育学研究室．pp.143－160