要約
平成11年に告示され、今年度から施行される新しい高等学校学習指導要領（数学科）の目標の中に“数学的活動を通して創造性の基礎を培うとともに～”という部分が追加された。さらに科目として『数学基礎』というものが加わったわけだが、この科目の目標では“数学と人間とのかかわりや、社会生活において数学が果たしている役割について理解させ、数学に対する興味・関心を高めるとともに、数学的な見方や考え方のよさを認識し数学を活用する態度を育てる。”となっており、内容の一つとして、【数学と人間の活動】・・・“数量や図形についての概念等が人間の活動に関わって発展してきたことを理解し、数学に対する興味・関心を高める。”といったように数学史を取り入れた教育の必要性を示唆するような文章となっている。
以上のようなことから、数学史を学習の中に導入することの重要性が指摘され、その授業をもとにして生徒がいかに数学観を変容することができるか、よさを体感できるかということが課題としてあげられると考えた。
よって、本研究では通常の授業では深く入り込むことのできない数学史という観点に視野を置き、そこで登場する人物が一体歴史上でどのような研究を行ってきたのかを、ここで題材とする微積分学という分野において理解し、微分法のよさ・すばらしさ・妥当性を実感して、数学的な予定調和を体験することで、さらなる生徒の多彩な考え方・発想の転換を引き出すとともに、物理現象を的確にとらえるには、関数の数学的見方や考え方が有効だと認識できるようにすることを目的とした。
研究課題には、以下の３つに焦点を絞ることで目的を達成することにした。
課題①：数学史を用いた授業を行うことによって生徒の数学観の変容を見ることができるか。
課題②：自然科学における数学の立場を生徒がどのようにとらえているかを知る。
課題③：微分法のよさ、すばらしさを体感することができるか。
研究方法は、数学史上の原典、ロピタルの無限小解析をもとに教材開発し、授業を行った。その際、事前アンケート、事前課題を行い、授業中はテキストとワークシートを使い、授業後は事後アンケートを行った。そして、これらに加えて授業の様子を撮影したビデオも用いて、本研究の目的が果たされているかどうかを考察した。
教材化は、生徒に伝えたいことである“まったく異なる解法からまったく同じ解答が得られるという実に不思議な体験ができるということ”と“微分法のよさ・妥当性”の２つを常に念頭におくと、１時間目の教材には、原典を用いた部分は微分法による解法だけを示し、実際に微分法で生徒が解けるように道筋を作る形がよいだろうと考え、２時間目の導入がスムーズにいくよう、幾何学的解法を推測できるような内容にした。
２時間目の教材は、基本的には１時間目の教材作りと同じ方針であったが、この２つの結果を別の角度からも確認できるように、テキストには作図ツール（CabriGeometryⅡ）の軌跡を出した図とグラフツール（GRAPES）のグラフを対照してみることができるように載せた。これは、授業中のパワーポイントの中にも提示した。また、別解として物理的解釈が解析と幾何～代数という２通りの異なる立式結果から得られた関係式の一致という形で妥当性を示した。そうすることで諸表現の調和的アプローチによって異なる表現を通した解の一致は理論の結びつきを明らかにし、このことで微分のよさをさらに引き出せるような教材構成にした。
以下は実際に行った授業の概要である。
【１時間目】―“L’Hopital’s WeightProblem”微分を使った解法―
Ⅰ：原典の問題を生徒全員で考え、原典解釈を中心に行う。
Ⅱ：その際にワークシートを使用し、、生徒が個々に考え、また問題を共有できるように十分時間を取った。
Ⅲ：原典を解釈していくことで、微分法がだんだん表面化してくる。
Ⅳ：次回へのつなぎとなる部分への導入
【２時間目】―“L’Hopital’s WeightProblem”幾何を使った解法―
Ⅰ：前回の復習
Ⅱ：幾何学で再度解きなおしていることを把握する。
Ⅲ：実際に幾何で問題を解釈する。
Ⅳ：すべて終わったところで、やっと微分法のよさが見え始める。
Ⅴ：作図ツールとグラフツールで最終確認することで微分法の妥当性を理解する。
このような流れで授業を行った。
この授業を行った結果から、立てた課題を中心に議論を進めていくと、課題①は授業時間が２時間ということもあり変容を見ることは難しいと思っていたが、アンケート結果から、想像以上に変容している様子がみられた。課題②は、自然科学というものを漠然としかとらえていない生徒が多かったにもかかわらず、授業後は数学の立場を明確にできた生徒がいた。このことから、数学史という異文化体験をすることで数学の立場を確立できるのではないかと考えられた。課題③について、これもアンケートの結果から、数学史を題材としたことにより、単なる漠然としたイメージしかない微分法に対するイメージを変容し、よさへとつなげることができたといえる。
本研究において、痛感したことは数学史を用いた教材研究をするにあたって、歴史をそのまま生徒の教授するために、一次文献を完全に教師が理解し、生徒が解釈する上で困難な状況に突き当たってしまったときに教育的予備知識をしっかり持って授業に取り組まなければならないということだった。
近い将来、現場に出ることを考えると本研究で学んだことを大いに反映することができるだろう。