要約
筑波大学教育研究科 倉島彩子
本研究題目
方程式の幾何学的証明を用いた授業研究
―解釈学的営みを通した創造性の育成―
授業実施時期
２００４年１２月
学習指導要領との関連
中学校3年 「二次方程式」
高等学校 数学Ⅰ 「方程式と不等式」
高等学校 数学Ⅱ 「高次方程式」
高等学校 数学基礎 「数学と人間の活動」
既習事項
二次方程式の解の求め方
指導可能学年
高校１年生～
| 1．はじめに 本研究ではアラビアの代数学である『ジャブルとムカーバラ』の解釈をもとに「方程式の幾何学的証明」を題材として、代数学として学習している方程式を幾何学的にに解釈することによって数学の多面的な考え方への共感、創造性の育成ができるか考察した。 |
| 2．研究目的・研究方法 研究目的 原典の解釈から、数学の多面的な考え方への共感や創造性の育成が授業内で達成することができるかを考察する。目的達成のため以下を課題とする。 (1)当時と現在の数学を比べ、数学が発展してきたことに気付き、現在の数学のよさを考える ことができるか。 (2)当時の方程式の解法や幾何学的証明を解釈し、現在の解法と対応させて考え、多面的な数学の考え方に共感できるか。 研究方法 『ジャブルとムカーバラ』をもとにオリジナルの教材を作成し、授業を行う。授業テキストとビデオによる授業記録、及び事前・事後アンケートをもとに考察する。 |
| 3．『ジャブルとムカーバラ』の数学的解説 本研究では、９世紀頃のアラビアの数学者Al-Khwarizmiの「ジャブルとムカーバラ」を原典として用いたが、当時は文字式が存在していなかったことや負の数の考え方がなかったことにより現在の解法とは異なる点が存在する。当時は解法を言葉でのみ示している。それに対し、根拠として幾何学的証明をすることで方程式を解いている。この原典を解釈することにより、現在の解法と当時の解法の違いとその理由を探り、数学の発展を感じるとともに「解釈学的営みを通じて、生徒は自らその数学内容とそれを生み出した人間との関わりを知る活動に取り組む」（礒田,2002）ことができ高等学校数学科の科目の一つである「数学基礎」の目標の「数学と人間のかかわりや、社会生活において数学が果たしている役割について理解させ、数学に対する興味・関心を高めるとともに、数学的な見方や考え方のよさを認識し数学を活用する態度を育てる」（文部省,1999,p31）ことができるのではないかと考える。 また、現在では解の公式、因数分解等の手続きを経ての数式による方法で説かれている方程式を、当時の解の証明として図を使った表し方を考察することで、「生徒の創造性を培うため、例えば、多面的にものを見る力や論理的に考える力を身に付けられるよう」（根本,1999）にするための活動として捉えることができると考える。 |
| ４．『ジャブルとムカーバラ』を題材とした授業概要 報告書、スライド、テキストなどを参照。 |
| ５．議論 課題(1)について アンケートによって、現在の考え方と当時の考え方を比べることでの違いを感じている生徒は多くいた。これは、「昔のほうがまわりうどくて、今のほうが明快で優れている」「昔は文字などで説明していたし大変だった。しかし、今は式など出かけてしまうので発展してきたと思う」「昔の人の数学の中身を考えるようになったから」というような回答から考察できる。また、今の自分たちが昔の考えを解明できることになったことで数学が発展していると考える生徒もいたことからも、解釈学的営みによる数学的活動による共感と自己理解の一場面と捉えることができると考える。 課題(2)について アンケートの結果から、公式や計算法さえ覚えればいいという生徒がいる中で、「今時分の解いている方法以外を知ってみたい」「こんなやり方もあるんだ」というような意見もあり、多面的な数学の考え方に共感する生徒がいたと考えることができる。また、数学史を学ぶことで、数学に興味を持ち、ただ覚えるだけでない「新しい数学の方向」を感じられるということが明らかになったといえる。 |
| 参考文献 ・文部省（1999）. 高等学校学習指導要領解説数学編理数編. 実教出版株式会社 ・礒田正美(2002）. 解釈学からみた数学的活動論の展開－人間の営みを構想する数学教育へのパースペクティブ－. 筑波数学教育研究室,第21号,p1-10 ・根本博(1999). 中学校数学科 数学的活動と反省的経験－数学を学ぶ楽しさを実現する－. 東洋館出版社 ・小倉金之助補訳(1960). カジョリ初等数学史,上・下. 共立出版 ・コールマン ユシケービッチ(1973)山内一次 井関清志訳. 数学史,2. 東京書籍 ・伊藤俊太郎編著(1987). 数学の歴史：現代数学はどのようにつくられたか,2. 共立出版 ・Martin Levey(1966). The Algebra of Abu Kamil. University of Wisconsin Press ・ジョージ・G・ジョー(1996). 非ヨーロッパ起源の数学. 講談社 |