図１　敷き詰めることが可能な多角形の例

基となる図形について

　 複雑な敷き詰め図形は、シンプルで敷き詰めることが可能な多角形に合同変換を行って作られている。ここでは、敷き詰めることのできる多角形について解説する。
　まず、平面を敷き詰めることのできる正多角形は、正三角形、正方形、正六角形の３種類に限られている。また、正多角形でない図形に関しては、以下のことが証明されている。(深谷賢治著(1996), 双曲幾何, 岩波書店, pp122-124)
　 次の2つは、自然数において同値である。ただし、敷き詰められている図形をタイルと呼ぶ。
（�@）平面の凸な角形からなる敷き詰めが存在する。（�A）
　　

　

図２　敷き詰めることが可能な凸六角形

　また、凸五角形において、平面を敷き詰められる図形は14種類発見されている。最後に発見されたのは1985年である。しかし、これら以外にないかどうかは知られていない。凸六角形については、敷き詰めることができるのは３種類のみ存在することが証明されている。（図２）