命題１２：円錐が軸を通る平面と軸三角形の底辺に垂直な直線を含む円錐の底面を切る別の平面でも切断され、延長された切断面の直径が軸三角形の一辺と円錐の頂点を越えて交わるなら、切断面と円錐の底面の共通部分に平行に、切断面からその直径に引いたどんな直線でもその平方は切断面の直径に沿って加えられた三角形の外角に対する直線が円錐の頂点から三角形の底辺に切断面の直径に平行に引いた直線の平方がその直線が引かれたときに作る底辺の切断された部分で作る矩形に対する比を持つ直線に、幅として切断面の頂点からはじまり切断面から直径へのこの直線によって切り取られた直線を持ち、三角形の外角に対する直線とパラメーターで挟まれる矩形と相似で同様な図形だけ越えてあてはまる面積に等しい。そして、このような切断面を双曲線という。
頂点が点Ａで、底面が円ＢＣの円錐がある。それが軸を通る平面で切断され、切断面として三角形ＡＢＣをつくる。（Ⅰ．３）そして、三角形ＡＢＣの底辺ＢＣに垂直な直線ＤＥを含む円錐の底面を別の平面で切り、切断面として円錐の表面に曲線ＤＦＥをつくる。そして、切断面の直径をＦＧとする。（Ⅰ．７．定義４）それを延長したとき、三角形ＡＢＣの一辺ＡＣに円錐の頂点を越えて点Ｈで交わるとする。直線ＡＫは点Ａを通り、切断面の直径ＦＧに平行に引き、ＢＣと交わる。直線ＦＬは点Ｆを通り直線ＦＧに垂直に引かれ、
ＫＡ２：ＢＫ・ＫＣ＝ＦＨ：ＦＬ となるように工夫する。
ある点Ｍを切断面上に任意にとる。Ｍを通り、直線ＭＮを直線ＤＥに平行に引き、Ｎを通り、直線ＮＯＸを直線ＦＬに平行に引く。そして、直線ＨＬをＸに延長し結ぶ。直線ＬＯ、ＸＰをＬ、Ｘを通り、ＦＮに平行に引く。ＭＮ上の正方形は幅としてＦＮを持ち、ＨＦ、ＦＬによって囲まれる長方形に相似な図形ＬＸによって越えられ、ＦＬにあてはまり、平行四辺形ＦＸに等しい。
