命題１３：円錐がその軸を通る平面によって切断され、一方では三角形の両側で交わり、他方では底面に平行でも小反対断面でもなく延長された別の平面で切断され、円錐の底面がある平面で切断面が軸三角形の底辺かその延長されたものに垂直な直線と交わるなら、円錐の切断面から平面の共通部分に平行に切断面の直径に引いたどんな直線も平方は、切断面の直径が円錐の頂点から三角形の底辺に切断面の直径に平行に引いた直線上の平方が（底辺上の）三角形の辺から切り取るこの直線で挟まれる矩形に対する比を持ち、幅として切断面の頂点からはじまる直径を切断面から直径までの直線によって切り取る直線を持ち、直径とパラメーターで挟まれる矩形と相似で同様な図形だけ不足して直線にあてはまるある面積に等しい。そしてそのような切断面を楕円という。
頂点が点Ａで、底面が円ＢＣである円錐がある。軸を通る平面で切断し、切断面として△ＡＢＣをつくる。一方では軸三角形の両辺と交わり、他方では円錐の底面にも小反対断面にも平行でなくひろがった別の平面でも切断する。円錐の表面上の切断面としてＤＥを作りとする。切断面と円錐の底面のある平面の共通部分が直線ＢＣに垂直な直線ＦＧであるとする。切断面の直径は直線ＥＤである。（ユークリッド．Ⅰ．７，と定義４）直線ＥＨはＥを通りＥＤに垂直に、直線ＡＫはＡを通りＥＤに平行に引く。ＡＫ２：ＢＫ・ＫＣ＝ＤＥ：ＥＨ となるように工夫する。切断面上に任意の点Ｌをとり、直線ＬＭはＬを通りＦＧに平行に引く。
直線ＬＭの平方が幅としてＥＭを持ち、ＤＥとＥＨで挟まれた矩形に相似な図形だけ不足してＥＨにあてはまる面積に等しい。
