命題５０：双曲線、楕円、円に接している直線が直径と交わり、直線が接点と中心を通り延長され、頂点から縦線に平行に引かれた直線が接点と中心を通って引かれた直線と交わり任意の直線が接線の２倍に対する比は接点と引かれた直線の間の接線の長さが接点と中心を通り引かれた直線の接点と引かれた直線間の長さの比と同じになるように工夫すると、切断面から接点と中心を通り引かれた直線に引いたどんな直線でも平方が、それによって接点から切り取られた直線の幅を持ち、双曲線の場合には、中心と接点の間の直線の２倍と見つけられた直線によって挟まれた矩形に相似な図形だけ越えて、楕円と円の場合にはそれだけ不足して、見つけられた直線にあてはまる矩形の面積に等しい。

　直径が直線ＡＢで、中心がＣの双曲線、楕円、円があり、直線ＤＥが接線で、直線ＣＥを結び両側に延長する。直線ＣＫを直線ＥＣに等しくし、Ｂを通り２直線ＢＦＧを縦線方向に、Ｅを通り直線ＥＨをＥＣに垂直に引き、ＦＥ：ＥＧ＝ＥＨ：２ＥＤ　とし、直線ＨＫを結び延長し、任意の点Ｌを切断面上にとり、それを通り直線ＬＭＸをＥＤに平行に、直線ＬＲＮをＢＧに平行に、直線ＭＰをＥＨに平行に引く。

　ＬＭ^２＝ＥＭ・ＭＰ　　である。

なぜなら、直線ＣＳＯはＣを通りＫＰに平行に引き、ＥＣ＝ＣＫ　だから、
ケース�T．
　　　　　　ＥＣ：ＫＣ＝ＥＳ：ＳＨ
したがって、ＥＳ＝ＳＨ

ケース�U．
　　　　　　ＦＥ：ＥＧ＝ＨＥ：２ＥＤ　
と　　　　　２ＥＳ＝ＥＨ
したがって、ＦＥ：ＥＧ＝ＳＥ：ＥＤ
そして、　　ＦＥ：ＥＧ＝ＬＭ：ＭＲ
したがって、ＬＭ：ＭＲ＝ＳＥ：ＥＤ 示されたことより（�T.43）
双曲線の場合には、
　　　　　　三角形ＲＮＣ＝三角形ＬＮＸ＋三角形ＧＢＣ
　　　　　　　　　　　　＝三角形ＬＮＸ＋三角形ＣＤＥ
楕円と円の場合には
　　　　　　三角形ＲＮＣ＋三角形ＬＮＸ＝三角形ＧＢＣ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝三角形ＣＤＥ
したがって、
双曲線の場合には共通な三角形ＥＣＤと共通な四角形ＮＲＭＸを引いて、
楕円と円の場合には共通な三角形ＭＸＣを引いて、
　　　　　　三角形ＬＭＲ＝四角形ＭＥＤＸ
そして、ＭＸはＤＥに平行で
　　　　　　角ＬＭＲ＝角ＥＭＸ
したがって、ＬＭ・ＭＲ＝ＥＭ・ＥＤ＋ＭＸ　（�T.49,注,２段落）
　　　　　　ＭＣ：ＣＥ＝ＭＸ：ＥＤ　
と　　　　　ＭＣ：ＣＥ＝ＭＯ：ＥＳ　から
したがって、ＭＯ：ＥＳ＝ＭＸ：ＥＤ （加比の理）
　　　　　　ＭＯ＋ＥＳ：ＥＳ＝ＭＸ＋ＥＤ：ＥＤ
１つおきに、ＭＯ＋ＥＳ：ＭＸ＋ＥＤ＝ＥＳ：ＥＤ
しかし、　　ＭＯ＋ＥＳ：ＭＸ＋ＥＤ＝（ＭＯ＋ＥＳ）・ＥＭ：（ＭＸ＋ＥＤ）・ＥＭ
そして、　　ＥＳ：ＥＤ＝ＬＭ：ＭＲ＝ＦＥ：ＥＧ　（ユークリッド.�Y.4）
または、　　ＥＳ：ＥＤ＝ＬＭ^２：ＬＭ・ＭＲ
したがって、（ＭＯ＋ＥＳ）・ＭＥ：（ＭＸ＋ＥＤ）・ＥＭ＝ＬＭ^２：ＬＭ・ＭＲ
そして１つおきに（ＭＯ＋ＥＳ）・ＭＥ：ＬＭ^２＝（ＭＸ＋ＥＤ）・ＥＭ：ＬＭ・ＭＲ
しかし、　　ＬＭ・ＭＲ＝ＭＥ・（ＭＸ＋ＥＤ）　（上述）
したがって、ＬＭ^２＝ＥＭ・（ＭＯ＋ＥＳ）
そして、　　ＳＥ＝ＳＨ
そして、　　ＳＨ＝ＯＰ
したがって、ＬＭ^２＝ＥＭ・ＭＰ