Definizioni e proprietà: Inversione circolare, polarità circolare (nel piano euclideo) (ﾕｰｸﾘｯﾄﾞ平面上の)反転円の定義と性質

Nel piano (reale) sia dato un punto (proprio) O; presa una costante (reale) k (≠ 0), ad ogni punto P di p si faccia corrispondere un punto P・appartenente alla retta OP e tale che OP·OP' = k (in valore assoluto e segno). Si suppone P ≠ O. Questa corrispondenza si chiama inversione circolare (o trasformazione per raggi vettori reciproci) ed è biunivoca e involutoria: non è quindi necessario distinguere il piano dei punti P da quello dei punti P・(piani sovrapposti). L誕ggettivo "circolare" è giustificato dal fatto che, se k > 0, la circonferenza "C" di centro O e raggio è luogo di punti uniti nella corrispondenza. "C" si chiama circonferenza di inversione; O è il centro di inversione, k la costante di inversione o potenza. Se k < 0, la circonferenza di inversione è immaginaria (antiinversione circolare). Assumendo un riferimento cartesiano con l弛rigine in O, le coordinate (x;y) di P sono legate a quelle (x・y・ di P・dalle seguenti relazioni: Si tratta dunque di una trasformazione quadratica. Nel seguito si dovrà supporre che il piano p sia "bucato" (cioè privo del centro di inversione). Le rette e le circonferenze di cui si parla potranno quindi essere prive di un punto. Proprietà fondamentali dell段nversione circolare: Le rette per O sono unite. Alle rette r del piano corrispondono circonferenze passanti per O, la cui tangente in O è parallela ad r. A una circonferenza non passante per O corrisponde ancora una circonferenza (non passante per O). Le circonferenze ortogonali a quella di inversione hanno per corrispondenti se stesse. Ricordiamo che una trasformazione si dice conforme (isogonale) quando l誕ngolo fra due curve qualunque passanti per P &erave; uguale all誕ngolo fra le curve corrispondenti nel punto P・corrispondente di P. Se il piano è reale e gli angoli corrispondenti sono uguali anche nel verso, la trasformazione conforme è diretta, altrimenti è inversa. L段nversione circolare è una trasformazione conforme inversa. Vedi modelli: Proprietà della inversione circolare: guida rettilinea; Guida rettilinea di Hart; Genesi tridimensionale di trasformazioni: inversione circolare; Inversore di Peaucellier; Proprietà dell段nversione: trasformazione di una crf. in crf.(1ｰ); Proprietà dell段nversione: trasformazione di una crf. in crf.(2ｰ); Proprietà dell段nversione: trasformazione di una retta in crf. Sia data una circonferenza di centro O e un punto P del suo piano: indichiamo con la circonferenza avente OP come diametro. L誕sse radicale p del fascio di circonferenze avente , come curve base si dice polare di P rispetto a . Si verifica facilmente che: quando P è esterno a la sua polare p congiunge i punti di contatto delle rette tangenti a uscenti da P; quando P appartiene a la sua polare p è la retta tangente in P a ; quando P è interno a la sua polare p non interseca ; se P percorre una retta r, la sua polare p descrive un fascio di rette il cui centro R si chiama polo di r rispetto a ; in quest置ltimo caso, r è la polare di R rispetto a . In base a quanto precede, data una circonferenza qualsiasi (di centro O) è possibile definire nel suo piano una corrispondenza biunivoca e involutoria (polarità circolare) che ad ogni punto di (diverso da O) fa corrispondere una retta, e ad ogni retta un punto. Valgono (per la polarità circolare) le seguenti proprietà: la polare di un punto qualsiasi è normale alla retta congiungente il punto col centro O della circonferenza; il prodotto delle distanze di O (centro della circonferenza fondamentale) dal polo e dalla polare è costante; l誕ngolo di due rette arbitrarie r,s è uguale all誕ngolo sotto cui da O sono visti i rispettivi poli. A partire da una circonferenza di centro O, la inversione si può quindi definire come segue: al punto P corrisponde il punto P・intersezione tra OP e la polare di P rispetto alla circonferenza. Si comprende così (tenendo conto delle proprietà ricordate in 2.) come il meccanismo di Peaucellier (che serve a realizzare l段nversione) possa essere usato anche per la polarità circolare. Vale il teorema: "Mentre un punto descrive una conica K, la polare di esso rispetto a una circonferenza (direttrice) inviluppa un誕ltra conica K・(curva polare di K), e le tangenti di K hanno i punti di K・come poli". Supposto che la conica K del teorema precedente sia una circonferenza di equazione (quindi C(a;b) è il suo centro) e che abbia equazione , si troverà per la conica K・l弾quazione : luogo di un punto (x;y) le cui distanze dall弛rigine O(0;0) e dalla retta ax + by - 1 = 0 hanno rapporto costante . La conica K・ha come fuoco O e come direttrice la polare di C rispetto al cerchio fondamentale . Possiamo dunque enunciare il teorema: "La curva polare di un cerchio rispetto a un altro cerchio (cerchio fondamentale) è una conica che ha un fuoco nel centro di questo. E viceversa". Queste osservazioni spiegano la generazione di coniche inviluppo col metodo della polare (con l置so quindi del meccanismo di Peaucellier). Vedi modelli: Biellismo per la polarità circolare (1); Biellismo per la polarità circolare (2); Generazione di inviluppi: metodo della polare (parabola, ellisse, iperbole).