なぜ，このような器具（しくみ）で，楕円が描けるのでしょうか．そのことについて考えてみましょう．

　楕円の性質は様々ありますが，ここでは，定円周上の同点Ｐから，その円の定直径に垂線を引き，ＰＭを一定の比に外分（または内分）する点Ｘの軌跡が楕円となることを利用して，この器具を考えたようです．

　では，Cavalieriの器具の場合，この性質が利用されているか確かめてみます．

　線分ＶＲを直径とする円を描き，この円と線分ＢＣとの交点をＳとします．

　更に，ＶＴ，ＶＲ，ＱＨ（＝HA）の長さをｌ，ｍ，とします．
 

　∠ＴＶＲ＝∠Ｒ＝∠ＱＨＲ

　∠ＶＲＴ＝∠ＨＲＱ　　　より

　　　　ΔＴＶＲ∽ΔＱＨＲ

　　　　∴ＴＶ：ＶＲ＝ＱＨ：ＨＲ

　　　　　　ｌ：　ｍ＝　：ＨＲ

　　　　　∴　ＨＲ　＝�@

　�@より，ＶＨ＝ＶＲ−ＨＲ

　　　　　　　＝�A

　∠ＶＰＡ＝∠ＶＨＰ＝∠ＰＨＡ＝∠Ｒより

　　　　　ΔＶＨＰ∽ΔＰＨＡ

　　　　　∴ＶＨ：ＨＰ＝ＰＨ：ＨＡ

　�Aより，：ＨＰ＝ＰＨ：

　　　　　　　ＨＰ・ＰＨ＝（）

　　　　　　　　　ＨＰ＝（）

　ＨＰ>０より，　ＨＰ＝�B

　点Ｓは，線分ＶＲを直径とする円の円周上の点であるから，

　　　　　　　∠ＶＳＲ＝∠Ｒ

　また，∠ＶＨＳ＝∠Ｒ＝∠ＳＨＲより

　　　　　　　ΔＶＨＳ∽ΔＳＨＲ

　　　　　　　∴ＶＨ：ＨＳ＝ＳＨ：ＨＲ

　�@，�Aより，（）：ＨＳ＝ＳＨ：

　　　　　　　　　　ＨＳ：ＳＨ＝（）

　　　　　　　　　　　　ＨＳ＝（）

　ＨＳ>０より，　ＨＳ＝�C

　�B，�Cより，ＨＳ：ＨＰ＝：

　　　　　　　　　　　　＝：１

　よって，線分ＶＲを直径とする円から，線分ＶＲに下ろした垂線を：１に外分する点の軌跡がCavalieriの器具によって描かれる楕円ということになります．
　従って，Cavalieriの器具のよって描かれる楕円は，ｌとｍ，即ちＶＴとＶＲの長さによって定まることになります．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（終）

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