命題１１：円錐がその軸を通る平面で切断され、軸三角形の底辺に垂直な直線を含む円錐の底面を切る別の平面でも切断する。切断面の延長された直径が軸三角形の辺の一つに平行ならば、円錐の切断面からその直径に引いたどんな直線も切断する面と円錐の底面の共通部分に平行で、その平方は、それで切断された切断面の頂点からはじまる直径上の直線と円錐の角と切断面の頂点からはじまる直径上の直線と円錐の角と切断面の頂点間の直線に対して軸三角形の底辺の平方が三角形の残りの２辺で挟まれた長方形に対して持つ比を持つ別の直線で挟まれた長方形に等しい。そして、そのような切断面を放物線と呼ぶ。
頂点が点Ａで、円ＢＣを底面とする円錐がある。軸を通る平面によって切断する。切断面として三角形ＡＢＣをつくる。（Ⅰ.3）そして、直線ＢＣに垂直で、直線ＤＥを含み円錐の底面を別の平面で切断する。円錐の表面に切断面として曲線ＤＦＥをつくる。切断面の直径ＦＧは軸三角形の一辺ＡＣに平行であるとする。（Ⅰ.7，定義４）直線ＦＨはＦから直線ＦＧに垂直に引くとする。それを ＢＣ２：ＢＡ・ＡＣ＝ＦＨ：ＦＡ が成り立つように工夫する。
そして、任意の点Ｋを切断面上に任意にとる。Ｋを通り、直線ＫＬを直線ＤＥに平行に引くとする。ＫＬ２：＝ＨＦ：ＦＬ といえる。
というのは、直線ＭＮはＬを通り、直線ＢＣに平行に引くとする。直線ＤＥも直線ＫＬに平行である。それゆえに、ＫＬ、ＭＮを通る平面は円錐の底面であるＢＣ、ＤＥを通る平面に平行である。
（ユークリッド.ⅩⅠ.15）したがって、ＫＬ、ＭＮを通る平面はＭＮを直径とする円である。（Ⅰ.4）そして、ＫＬはＤＥがＢＣに垂直であることよりＭＮに垂直である。（ユークリッド.ⅩⅠ.10）
それゆえに、ＭＬ・ＬＮ＝ＫＬ２ （ユークリッド.Ⅲ.31；Ⅵ.8.系）
そして、 ＢＣ２：ＢＡ・ＡＣ＝ＨＦ・ＦＡ
と ＢＣ２：ＢＡ・ＡＣ＝（ＢＣ：ＢＡ）（ＢＣ：ＡＣ）（ユークリッド .Ⅵ.23）
したがって ＨＦ：ＦＡ＝（ＢＣ：ＢＡ）（ＢＣ：ＡＣ）
しかし、 ＢＣ：ＣＡ＝ＭＮ：ＮＡ＝ＭＬ：ＬＦ （ユークリッド.Ⅵ.4）
そして、 ＢＣ：ＢＡ＝ＭＮ：ＭＡ＝ＬＭ：ＭＦ＝ＮＬ：ＦＡ （ユークリッド.Ⅵ.2）
したがって ＨＦ：ＦＡ＝（ＭＬ：ＬＦ）（ＮＬ：ＦＡ）
しかし、共通な高さとして直線ＦＬをとると
ＨＦ：ＦＡ＝ＨＦ・ＦＬ：ＬＦ・ＦＡ （ユークリッド.Ⅵ.1）
したがって、ＭＬ・ＬＮ：ＬＦ・ＦＡ＝ＨＦ・ＦＬ：ＬＦ・ＦＡ （ユークリッド.Ⅴ.11）
それゆえに ＭＬ・ＬＮ＝ＫＬ２
その結果 ＫＬ２＝ＨＦ・ＦＬ
そして、そのような切断面を放物線といい、ＨＦは直径ＦＧの縦線方向に引かれた直線が正方形にあてはめられる直線といい。それを通径ともいう。
