GENESI TRIDIMENSIONALE DELLA INVERSIONE CIRCOLARE INVERSORE DI PEAUCELLIER (ANTIINVERSIONE).
Data una circonferenza g di raggio r e centro O, si dice che due punti P, Q del suo piano si corrispondono in una inversione avente g come circonferenza base, se risulta verificata la relazione OP·OQ = r2. Si può dimostrare facilmente che l'inversione rispetto a g si può ottenere come prodotto di due proiezioni stereografiche di una sfera avente anch'essa centro in O e raggio uguale a quello di g. Precisamente: sia S una sfera avente g come cerchio massimo; si proietti un punto A della sfera dai due poli del cerchio massimo g sopra il piano di questo; le proiezioni stereografiche di A, in tale piano, sono due punti P e Q che si corrispondono nella inversione circolare avente g come base. Questa trasformazione (che non è lineare), si può costruire direttamente nel piano con uno strumento inventato da Peaucellier (1864), e costituito da due rombi articolati (uno interno all'altro) aventi in comune due vertici opposti. Assumendo come punto fisso (centro di inversione: imperniato al piano) uno dei vertici del rombo che ha i lati maggiori si ottiene una inversione circolare (circonferenza base con raggio reale) nella quale si corrispondono i punti (allineati col centro) che sono vertici opposti del rombo coi lati minori ; assumendo invece come centro (imperniato al piano) uno dei vertici del rombo che ha i lati minori si ottiene una antiinversione circolare (circonferenza base con raggio immaginario) nella quale si corrispondono i punti (allineati col centro) che sono vertici del rombo coi lati maggiori. Per realizzare una singola inversione o antiinversione (non entrambe) sono sufficienti 6 aste: si sopprimeranno (per avere la inversione) due dei lati maggiori (gli altri due si incontreranno nel centro); per avere la antinversione saranno invece soppressi due dei lati minori (gli altri due si incontreranno nel centro).NOTA. Alcune coppie di modelli presenti in questa sezione (genesi tridimensionale della traslazione, traslatore del Kempe, genesi tridimensionale della omotetia, pantografo di Scheiner, genesi tridimensionale di una omologia affine- caso dello "stiramento"-, biellismo di Delaunay, genesi tridimensionale della inversione circolare, inversore di Peaucellier) illustrano molto bene alcuni aspetti della "solidarietà" tra geometria dello spazio a tre dimensioni e geometria del piano (vedi anche sezione 2: prospettografi di Lambert). E' inoltre evidente che ogni biellismo o sistema articolato realizza solo "localmente" le trasformazioni puntuali piane prese in esame: cioè pone in corrispondenza regioni limitate (e "piccole") del piano. Quindi dal fatto che tali apparecchi funzionano (con precisione che opportuni accorgimenti tecnici possono rendere anche molto elevata) non è lecito ricavare alcuna conclusione sulla struttura geometrica dello spazio fisico.
